防止频谱分析仪 对功率求平均值的潜在危险

出处:来源:CEM 　发布时间:2009-11-4   上海示波器-直流稳压电源-音频信号源

引言

求平均值是人们为了减少各种测量操作中不可避免的测量结果不确定性而采用的一种普通方法。对同一种量进行多次测量操作然后计算出测量结果的平均值，这通常能够减少实验结果的随机性。许多测量仪器通过自动求均值的方式，力图简化测量的过程。这类仪器不是返回100个带有干扰的测量结果，而是首先进行100次测量然后计算出平均值，最后只返回所得到的平均值。求平均值的测量方法非常普遍，从理论上来看，似乎对它的正确性也无可厚非。但是，近来我们的经验表明，在频谱分析仪中对功率求平均值的做法却不是那么简单。本文将深入分析与功率求平均值有关的一些问题，以帮助读者避免出现与笔者同样的对这一方法想当然的错误。本文的结论虽然是利用不同厂商的两台频谱分析仪进行功率测量比较的实验结果，但是这些问题对于采用后检测求均值方式进行功率测量的所有频谱分析仪都具有普遍性。上海示波器-直流稳压电源-音频信号源

误区1：为得到整个零扫宽轨迹或部分轨迹的平均功率，对RMS功率求平均值。

求平均值对于广大工程师们来说再平常不过了，我们似乎没有必要再次罗列计算平均值的数学公式了。但是为了让所有读者清楚起见，我们还是给出公式（1）。其中，MAVE是某项实验中N次独立测量结果的平均值，其中各次测量结果表示为Mi：

在这里，我们的任务是验证仪器“A”与仪器“B”的相关性是否在某个精度范围内（即±1dB）。所有的测量都是在零扫宽（ZS）模式下进行的。这里采用零扫宽模式在很大程度上是与求均值的问题无关的；在传统的频域频谱分析中也有同样的求均值问题。这里，两种仪器都采用零扫宽技术测量相邻信道功率比（ACPR）。这是现代数字IF分析仪的典型方法，其中在不重新调谐分析仪的情况下改变与中心频率的偏移量，仪器要进行多次功率测量。对于不熟悉ZS的读者来说，ZS实际上是在特定频率下测量功率的一种普通频谱分析仪技术。简而言之，ZS是一种能够体现信号功率包络变化与时间关系的时域测量技术。在ZS模式下，分析仪不进行扫频操作，而是针对特定的中心频率进行调谐。分析仪在用户指定的扫描时间内测量瞬时探测电压，然后计算出该电压“轨迹”的等效功率，并显示出与时间的关系。（在模拟频谱分析仪中，信号包络是探测器二极管的输出，而现代的“数字IF”频谱分析仪则直接对基带信号进行数字化处理并用数学的方法计算出信号包络。）

给出了一段脉冲GSM信号的真实ZS测量波形。该波形表现的是实际GSM脉冲的包络。注意，这里测量的是“调制占用射频频谱（ORFS）”，简单来说它就是一种ACPR测量。注意，该脉冲顶部的“小波纹”是由于分辨率带宽和视频带宽的设置造成的，根据GSM ORFS Mod规范它们都等于30KHz。如果放宽这些设置参数，那么这个轨迹看起来将会像一个矩形脉冲。

我们可以从这个轨迹中计算出多个有用结果，例如峰值功率、最小功率和平均功率。寻找轨迹的功率和最小功率是比较容易的——只需要让分析仪对整个轨迹进行一遍峰值和最小峰值搜索再返回结果即可。如何得到图中两条虚线之间部分的平均功率呢？顺便说一下，GSM ORFS Mod测试要求在脉冲的有限范围内计算平均功率——这就是两条虚线之间的区域。

显然，计算平均功率的一个方法就是对两条虚线之间所有点上的功率求均值。公式（2）给出了这一计算方法，其中N表示两条虚线之间轨迹点的个数，Pith point表示第i个点的功率。

公式（2）完全是凭直觉给出的，它似乎是计算平均功率的“正确”方法。但是，测试仪器制造商的做法却不尽相同。其中一台仪器按照公式（2）求平均功率，而另一台仪器首先将每个功率点转换成电压值，计算出所有这些电压的均值，然后利用平均电压值计算出平均功率，

要想证明一台仪器使用的是公式（2）而另一台仪器使用的是公式（3）并不是一件容易的事，因为这两种方法得到的平均功率之间的差值不大。我们必须从两台仪器中得到多条轨迹，然后利用所有能想到的方法计算平均功率，直到找到的匹配结果。在图1的例子中，“真正”平均功率（本文后面称之为RMS功率）和平均电压功率之间的差值为0.25dB（RMS功率略大0.25dB）。如果我们比较的是两台不同的仪器，那么我们很可能将其看成是两台仪器之间的简单测量差异（误差）而将其忽略。虽然0.25dB不算是很大的值，但是当我们需要1dB左右的相关度（correlation）（或者纯精度）时，0.25dB就显得很大了。对于低电平信号的测量尤其如此，因为其中的噪声功率在总的待测信号功率中占很大比例。注意，如果我们得到整个脉冲范围内的功率差值，那么这个偏差就会放大到1dB左右（同样，RMS功率要大于平均电压功率）。这里，这个差值就等于我们试图获得的精度。

这里的平均电压功率得到的是“均方的平均（mean-squared）”功率[公式（3）]，而RMS功率得到的是“平均的均方（mean-square）”功率[公式（2）]。根据基本的统计学原理可知，平均的均方值减去均方的平均值等于方差。这意味着，幅值的差异（幅值方差）对所得到的平均功率有直接影响。最后要注意的是，平均的均方功率总是大于或等于均方的平均功率（RMS功率≥平均电压功率）。 上海示波器-直流稳压电源-音频信号源

误区2：平均功率总是由瓦特值求平均得到的。

仍然采用上述例子，假设平均功率本身就是噪声。为了消除这些测量噪声，有人可能想要增加一遍求均值的过程：得出多条轨迹，计算出每条轨迹的平均功率，然后再计算所有轨迹的平均功率（对平均值求平均）。这是一种常见的测量需求，对于低电平信号测量尤其如此（在GSM ORFS Mod测量中，该标准要求最终功率结果应该是对200个以上的脉冲求均值）。公式（4）给出了计算过程。其中，每个轨迹功率（PTrace i）是由公式（2）或公式（3）计算出的单个值（RMS功率或者平均电压功率）。

假设平均功率是由瓦特表示的PTrace i值计算出来的是合理的（称为线性均值）。但是，很多分析仪具有对数求均值的功能。在这个例子中，就是对“dBm”表示的功率求均值。例如，如果轨迹功率均值为1dBm和3dBm，那么线性均值就是：（1.25mW + 2mW）/ 2=1.62mW=2.11dBm
另一方面，对数均值为：（1dBm+3dBm）/2 = 2.0dBm对数求均值的方法引入了0.11dB的误差。

对“dBm”求平均值实际上是错误的，除此之外，还有一个更复杂的问题——对于重复信号，线性求均值和对数求均值将会产生相同的结果；因此，对重复信号求对数均值不会引入误差。注意，重复信号是指每次扫描的功率与时间轨迹之间的关系都相同的信号。不论采用什么样的求均值方法（线性的或者对数的），重复信号得到的结果都是一样的，这个事实可能不那么直观，因为求一个数的对数值是一种非线性操作。但是，我们没有必要证明这个事实。从对数均值的公式入手，我们可以得到：该信号是重复信号，因此PTrace i, dBm对于所有的i都是相同的。我们可以丢弃求和符号将公式（5）改写为：

因此，不论PTrace使用什么样的单位（mW或dBm），只要N值相同，线性均值和对数均值方法就会产生相同的结果。值得一提的是，我们还会发现，一般来说对数均值等于线性轨迹功率几何平均值取对数的10倍。

非线性信号将产生不同的结果，这一事实值得重视，这是由于实际操作条件与实验室测试条件不同而造成的。实验室测试信号一般是重复性的，它们通常是从任意波形发生器（ARB）产生的。ARB只是不断的重复输出同一个波形，因此必定是重复性的。而实际的信号却不是这样，因为它们包含的有效信息通常在实际情况下会发生变化。如果各个轨迹之间的平均功率没有很大的差异，那么对数均值和线性均值之间的差异就很小。

从下面这个实际的例子我们将看到，非重复性信号是如何影响每条轨迹的功率均值（RMS均值或平均电压均值）和多条轨迹的功率均值的。图2是具有恒定变化有效载荷的一个EDGE脉冲的两条轨迹图（伪随机序列，PN15）。该信号中间的一部分是重复的；这是GSM/EDGE训练序列，它在不同脉冲中都是保持不变的。但是，该训练序列两端的数据在不同的脉冲中是变化的。

首先，请注意，如果对RMS功率或平均电压功率求“平均轨迹功率的平均值”，那么无论是RMS功率还是平均电压功率，所有轨迹功率的线性均值和对数均值之间的差值（偏差）是很小的（偏差分别为0.02dB和0.03dB）。这是因为所有轨迹的平均功率是相当接近的，这表明各个均值之间不存在大的峰-峰值摆动。另外，如果我们单独观察每条轨迹，就会发现其RMS功率和平均电压功率之间的差值是较大的——几乎至少为0.5dB，且逼近0.75dB。然而更重要的是，这个差值是随着每条轨迹的基线而改变的。同样，我们所分析的部分脉冲是非重复性的。重复信号的特点在于，即使RMS功率和电压均值功率之间存在差异，这个差异也是恒定的（如果测量脉冲训练序列部分的功率，那么必定会出现这一特点）。对于当前的信号，值与最小值之间的差异是0.4dB左右。如果回头再看看图2，其较大的偏差就不足为奇了。这一特殊的信号具有10dB左右的摆幅，该摆幅越大，RMS功率和平均电压功率之间的差值就会越大。另外，这不是一个人为的“最坏情况”信号。EDGE规范允许更大的摆幅，这显然会增大这两个功率之间的差值。
误区3：求轨迹均值总是计算出每条轨迹的一个“总”值，然后再对这些总值求平均值。

到目前为止，我们已经介绍了两种形式的均值：单轨迹均值，即对信号的所有区域或部分区域求均值，得到一个值（RMS功率或平均电压功率）；和多轨迹均值，即把对每条轨迹求得的单轨迹均值结果放在一起求均值（求均值的均值）。还有一种频谱分析仪求功率均值的方法值得注意，可称为点对点求均值。其中，采集多条轨迹，然后求出每个轨迹点与所有其他轨迹上相应点的均值。

此外，每个点与具有相同x坐标值的所有点求均值，得到一个“平均”轨迹。对于这个例子，x是时间，但也可以是频率，采用的计算方法是相同的。和前面一样，我们可以求出这些点的线性均值或者对数均值。当计算出均值之后，我们还可以对整个轨迹或部分轨迹再求一遍均值。如果波形是重复的，线性求均值和对数求均值的方法将会得到相同的平均轨迹，因为对于所有的轨迹而言，任意点的功率都是相同的。当波形不重复时，情况又如何呢？图4给出了对具有不同载荷数据的20个EDGE信号脉冲分别采用线性求功率均值方法和对数求功率均值方法所得到了平均轨迹。这两条轨迹之间的确存在一定差异，其中可以看到对数方法求得的平均轨迹功率小于线性方法求得的功率。图5给出了这两条轨迹之间各点的差值。注意，正如我们所预料的那样，这些脉冲信号训练序列部分的线性均值和对数均值之间没有差异（同样，训练序列对于每个脉冲信号都是重复性的）。

导致这一差异的原因在于对数求均值的方法放大了功率摆幅。这可以通过一个简单的例子来说明：假设对N个脉冲信号某一时间点（或者某一频率点）上的脉冲进行测量。功率在两个值（如0dBm和-10dBm）之间振荡；50%的功率测量读数为0dBm，另外50%的读数为-10dBm。那么，峰-峰摆幅显然就是10dB。所有N个脉冲

信号的平均功率是多少呢？很容易计算出对数均值为-5dBm。要想计算出线性均值，我们要把0dBm和-10dBm转换为以瓦特为单位，求出平均值，然后将这个值重新转换为以dBm为单位。以瓦特为单位的平均功率是0.55mW，即-2.6dBm。利用对数求均值的方法引入了2.4dB的误差。

在归纳这一计算方法时，我们知道xdB的功率变化相当于线性功率改变了10(x/10)。因此，我们可以写出下列公式，同样假设50%的点为一个功率值Mhi，另外50%的点比Mhi小ΔdB：
注意，当Δ值趋向无穷大时，将逼近-3dB。这意味着，当两种不同功率值的数量相同时，所得到的平均线性功率将比较大的功率值最多低3dB。我们可以进一步归纳出任意比例下的计算结果：在公式（9）中，r表示较大功率值（Mhi）出现的次数在总测量次数中的比例（相应的，1-r就是较小功率值出现的次数在总测量次数中的比例）。注意，当Δ趋向无穷大时，所得到的平均功率最多将小于较大的功率值。 上海示波器-直流稳压电源-音频信号源

我们还可以写出对数均值的计算公式，如下：

如果用公式（9）减去公式（10），所得的结果表示线性均值和对数均值之间差异（这是由对数均值法引入的误差）：

为求全面起见，我们再分析一下某些实际数据中的若干点（如图5所示）。其中，我们重点标出了两个时间点，一个具有相对较大的功率差值（在T=115us时超过了3.5dB），另一个具有小得多的差值（在T=75us时为0.25dB左右）。根据之前的讨论，我们有理由认为这些点对应的功率与时间关系曲线看起来必定具有较大的差别；具有高误差的点应该表现出较大的功率摆幅，而具有低误差的点应该表现出较小的功率摆幅。实际上，如图7所示。其中，与T=115us时间点对应的轨迹具有15dB左右的摆幅，而与T=75us时间点对应的轨迹具有5dB左右的摆幅。如果假设高误差值和低误差值出现的次数相同（即r=0.5），那么与T=115us对应的轨迹应该具有4.5dB左右的误差，与T=75us对应的轨迹应该具有0.5dB左右的误差这个结果大于所测到的3.5dB和0.25dB，但我们有必要重新看一下图6中的曲线给出了最差情况下的次数（它假设只有两个功率值，每个值具有相同的次数）。我们可以预期这个误差将会更小一些，因为显然不是只有两个功率值（也就是说，不是只有一个“高功率值”和一个“低功率值”）。 上海示波器-直流稳压电源-音频信号源

结语
总而言之，作为工程师应该牢记：频谱分析仪计算平均功率的方法并不总是“正确的”。而且，可能引入的误差大小取决于所分析信号的特征。尤其值得注意的是：

* 搞清楚频谱分析仪计算平均功率的方法：RMS、电压均值等；

* 注意功率均值不一定总是用线性单位（瓦特）求出的。利用对数求均值也是一种可能的方法（对dBm求均值）；

* 重复性信号可能会造成误导。其结果可能是一个静态误差（误差值总是保持不变，例如RMS功率与平均电压功率）或者没有误差（线性均值与对数均值）。同样，非重复性信号（即真实信号）则具有与信号摆幅相关的随时间变化的误差。 上海示波器-直流稳压电源-音频信号源

正如本文所介绍的，不同求均值技术的差异可能会导致1.0dB或更大的误差。想要搞清楚某台频谱分析仪计算功率均值方式的方法就是从仪器中生成几条信号轨迹，然后判断手工计算的结果是否与分析仪的结果相同。尽管这样做有些繁琐，但是如果目标应用有较高的精度要求，这样的分析也是必要的。